Quando applichiamo un carico a una trave, le azioni esterne e le reazioni vincolari generano un sistema di forze in equilibrio, ma provocano anche deformazioni nella trave stessa. Queste deformazioni sono il risultato delle azioni interne che si sviluppano nell’elemento strutturale in risposta ai carichi esterni applicati.
Le azioni interne che possono manifestarsi in una struttura, definite come caratteristiche della sollecitazione, includono lo sforzo normale, il taglio e il momento flettente. Definire e comprendere appieno l’andamento di tali caratteristiche diventa fondamentale quando si progettano e si analizzano le strutture al fine di garantirne la sicurezza e la stabilità.
In questo articolo ci concentreremo sul momento flettente allo scopo di analizzare gli effetti della flessione su un elemento strutturale, in particolare una trave in legno, anche se i principi esposti sono applicabili a materiali diversi. Approfondiremo il processo di calcolo di questa sollecitazione e analizzeremo come variano i diagrammi del momento per diverse condizioni di carico e di vincolo.
Che cos’è il momento flettente?
Il momento flettente è una delle azioni interne che possono generarsi in una struttura quando viene sottoposta a carichi esterni. Si verifica quando un elemento strutturale, come ad esempio una trave, subisce la tendenza ad inflettersi sotto l’azione dei carichi applicati. In altre parole, il momento flettente descrive la distribuzione delle forze interne che causano la curvatura o la flessione di un elemento strutturale.
Quando una trave appoggiata alle estremità (o incastrata in un estremo) viene sottoposta all’azione di un carico concentrato o uniformemente distribuito, si sviluppa un momento flettente lungo la sua lunghezza. Questo momento flettente induce una curvatura nell’elemento strutturale, determinando una compressione nelle fibre superiori (che subiranno un accorciamento) e una trazione nelle fibre inferiori (che subiranno, invece, un allungamento).
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Considerando una generica sezione della trave, questa risulterà, quindi, compressa nella parte superiore e tesa nella parte inferiore, con tensioni nulle in corrispondenza dell’asse neutro, ovvero della retta baricentrica che include l’insieme dei punti che non subiscono alcuna variazione di lunghezza.
Come calcolare il momento flettente?
Per calcolare il momento flettente in una trave è necessario considerare l’equilibrio delle forze e le condizioni di vincolo della struttura. In generale, il momento rappresenta il prodotto di una forza per una lunghezza (definita “braccio”) e viene espresso generalmente in KiloNewton per metro (KN∙m). Il braccio rappresenta la distanza tra il punto di applicazione della forza e il punto di riferimento rispetto al quale si sta calcolando il momento.
Il momento flettente è inteso convenzionalmente positivo se, considerato un concio della trave, tende le fibre inferiori (provocandone l’allungamento), mentre è negativo se le comprime (determinandone un accorciamento). Secondo la convenzione dei segni comunemente adottata in ingegneria strutturale, il momento è positivo quando tende a flettere l’elemento verso il basso.
Le reazioni tangenziali (TA, TB) in una trave appoggiata soggetta solo a carico verticale sono nulle agli appoggi. La risoluzione dell’esercizio, e quindi il calcolo delle reazioni vincolari e la formalizzazione delle funzioni Taglio e Momento, avviene tramite l’applicazione delle equazioni indefinite di equilibrio.
La trave è in equilibrio statico (non trasla e non ruota), quindi la somma delle forze e la somma dei momenti è uguale a zero. Dopo la formalizzazione delle equazioni del Taglio T(x) e del Momento M(x) si passa alla spiegazione del tracciamento dei diagrammi T(x) ed M(x).
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Calcolo delle reazioni vincolari e diagrammi di Taglio e Momento
Al fine di garantire una comprensione completa del processo utilizzato per calcolare e tracciare un diagramma del momento flettente, analizzeremo nel dettaglio il caso di una trave appoggiata-appoggiata sottoposta a un carico concentrato applicato in mezzeria.
Trave appoggiata-appoggiata con carico concentrato in mezzeria
Immaginiamo di avere una trave di lunghezza L vincolata nell’estremità A con una cerniera e nell’estremità B con un carrello. Supponiamo di applicare nella mezzeria della trave un carico concentrato, che chiamiamo F (espresso in KN).
Il primo passo per calcolare la distribuzione delle sollecitazioni interne dovute alla flessione lungo lo sviluppo della trave consiste nel calcolare le reazioni vincolari verticali RA e RB. Poiché la forza F è applicata al centro, la reazione vincolare degli appoggi A e B vale F/2.
- RA = F/2
- RB = F/2
Scegliamo come punto per il calcolo dei momenti il punto di applicazione della forza F, per comodità, e calcoliamo il momento di ciascuna forza rispetto a questo punto. Il momento generato dalla reazione vincolare nel punto A ha segno orario e vale F/2*L/2. Il momento generato dalla reazione vincolare B vale -F/2*L/2.
Dopo aver sostituito i vincoli con le rispettive reazioni vincolari, si procede effettuando dei “tagli” immaginari lungo la trave. Questi tagli vengono eseguiti generalmente partendo da sinistra verso destra, e devono essere effettuati subito prima e subito dopo ogni forza che si incontra lungo la trave, sia che si tratti di una forza di carico che di una reazione vincolare.
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Poiché alla sinistra dell’estremità A (corrispondente all’ascissa x=0) non c’è nulla, immaginiamo di effettuare il primo taglio subito dopo la reazione RA, in corrispondenza di una generica sezione x, e di voler calcolare il momento che si esplica in questa sezione, chiamandolo M(x). Per l’equilibrio della statica, la somma di tutti i momenti rispetto al punto considerato deve essere uguale a zero. Applicando opportunamente la convenzione dei segni avremo:
∑Mx = 0
RA∙x 〖-M〗((x) )=0
M((x) )=RA∙x=F/2∙x
Come possiamo notare, il valore del momento flettente è funzione dell’ascissa x e aumenta linearmente man mano che ci si allontana dalla reazione RA (poiché aumenta il braccio di questa forza). Procediamo ora con il secondo taglio, posizionandolo poco prima del carico applicato F. Dato che non ci sono altri carichi agenti tra il primo e il secondo taglio, l’equazione del momento flettente rimane invariata.
Di conseguenza, possiamo determinare il momento flettente massimo che si verifica nella mezzeria della trave, semplicemente sostituendo x=L/2 nell’equazione precedente:
Mmax=M((x=L/2) )=F/2∙x=F/2∙L/2=(F∙L)/4
Allo stesso modo, possiamo ottenere il momento nel punto A sostituendo x=0 nell’equazione:
MA=M((x=0) )=F/2∙x=F/2∙0=0
È importante notare che tale momento è nullo poiché il vincolo in quel punto è costituito da una cerniera. Questo vincolo non si oppone alla rotazione dell’elemento strutturale e non esplica una reazione in termini di momento.
Il terzo taglio viene effettuato subito dopo il carico F. In questo tratto si hanno due forze che agiscono sull’elemento, date dal carico stesso e dalla reazione vincolare in A. Per calcolare il momento in questa sezione applichiamo, come in precedenza, l’equazione di equilibrio:
∑Mx = 0
RA∙x-F∙(x-L/2)-M((x) )=0
M((x) )=RA∙x-F∙(x-L/2)=F/2∙x-F∙(x-L/2)=F/2∙(L-x)
Nel tratto considerato, il momento ha un andamento lineare decrescente man mano che ci si sposta verso destra, poiché l’effetto della reazione RA viene contrastato dal carico agente F. Posizionando l’ultimo taglio poco prima della reazione RB, non essendoci ulteriori forze oltre a quelle già considerate per il taglio precedente, l’equazione del momento non varia.
Possiamo, quindi, calcolare il momento in B sostituendo x=L nella relazione precedente:
MB=M((x=L) )=F/2∙(L-x)=F/2∙(L-L)=0
Nel punto B il momento assume nuovamente un valore nullo poiché il carrello non genera reazioni di momento. La stessa equazione può essere utilizzata per calcolare il momento massimo in x=L/2, fornendo lo stesso risultato ottenuto in precedenza:
Mmax=M((x=L/2) )=F/2∙(L-x)=F/2∙(L-L/2)=(F∙L)/4
In definitiva, per il caso in esame, il diagramma del momento flettente può essere costruito utilizzando le due relazioni che descrivono l’andamento della sollecitazione lungo la trave distinguendo il tratto a momento crescente (da 0 a L/2) da quello a momento decrescente (da L/2 a L):
- M((x) )=F/2∙x per il tratto 0 ≤ x ≤ L/2
- M((x) )=F/2∙(L-x) per il tratto L/2 ≤ x≤ L
Queste relazioni consentono di determinare il momento flettente in ogni punto della trave semplicemente sostituendo ad x l’ascissa considerata. Nei punti estremi A e B dell’elemento strutturale il momento è nullo a causa delle condizioni di vincolo, mentre in corrispondenza della mezzeria della trave si registra il massimo valore della sollecitazione:
- MA=M((x=0) )=0
- MB=M((x=L) )=0
- Mmax=M((x=L/2) )=(F∙L)/4
Per convenzione, il diagramma del momento flettente si disegna dalla parte delle fibre tese. Il metodo appena descritto può essere applicato a qualsiasi schema statico per determinare le equazioni che descrivono l’andamento del momento flettente in ciascun segmento della trave in cui le condizioni di vincolo e di carico rimangono invariate.
8) TRAVE APPOGGIATA CON CARICO DISTRIBUITO E CARICO CONCENTRATO
Carichi di progetto e coefficienti di sicurezza
Se “Casi di Carico” è selezionato, il carico di progetto lineare viene calcolato come combinazione lineare dei carichi con i rispettivi coefficienti di sicurezza γ:
qm=γG1⋅G1+γG2⋅G2+γQ⋅Q
I coefficienti di sicurezza utilizzati sono:
| Carico | Coefficiente (γ) |
|---|---|
| G1 (permanente) | 1.3 |
| G2 (permanente variabile) | 1.5 |
| Q (variabile) | 1.5 |
Altri schemi statici comuni
Successivamente, esamineremo ulteriori schemi statici ricorrenti, fornendo una panoramica completa sulle formule e i diagrammi del momento associati a ciascuno di essi.
Trave appoggiata-appoggiata con carico uniformemente distribuito
Consideriamo una trave appoggiata-appoggiata di lunghezza L soggetta a un carico uniformemente distribuito q (espresso in KN/m). Poiché la risultante di questo carico è data dal prodotto di q per L (e si può ipotizzare applicata nella mezzeria della trave), le reazioni vincolari nelle estremità A e B assumono il seguente valore:
- RA = (q∙L)/2
- RB = (q∙L)/2
Nel caso specifico, considerato che il carico agisce uniformemente lungo lo sviluppo della trave, per definire l’equazione del momento flettente e tracciare il rispettivo diagramma è sufficiente effettuare un unico taglio in corrispondenza di una generica ascissa x ed applicare il principio dell’equilibrio statico alle forze che agiscono sul tronco in esame rispetto al punto considerato. Tali forze sono rappresentate dalla reazione vincolare in A e dalla porzione di carico distribuito che agisce da zero fino all’ascissa x. Quest’ultimo può essere sostituito con la sua risultante, ovvero una forza concentrata di intensità pari al prodotto di q per x, applicata nella mezzeria del tratto in esame. L’equazione del momento sarà data dalla seguente relazione:
M((x) )=RA∙x-q∙x∙x/2=(q∙L)/2∙x-(q∙x2)/2=(q∙x)/2∙(L-x)
Questa equazione ci consente di determinare il valore del momento in ogni punto della trave e ci suggerisce che, in caso di carico uniformemente distribuito, la sollecitazione assumerà un andamento non lineare. Il momento sarà nullo in corrispondenza delle estremità e massimo nella mezzeria dell’elemento strutturale:
- MA=M((x=0) )=0
- MB=M((x=L) )=0
- Mmax=M((x=L/2) )=(q∙L2)/8
Trave a mensola con carico concentrato sull’estremità libera
Supponiamo ora di avere una trave di lunghezza L incastrata nell’estremità A e di applicare un carico concentrato F nell’estremità opposta, identificata con B. Per determinare la distribuzione del momento, è necessario considerare le reazioni esplicate dall’incastro (trascurando quella orizzontale). Queste reazioni sono costituite da una forza verticale RA e da un momento MA che, per l’equilibrio statico, saranno pari a:
- RA = F
- MA = F∙L
Una volta calcolate queste reazioni, possiamo definire la distribuzione del momento considerando una generica sezione x della trave e applicando il principio dell’equilibrio rispetto a questo punto. L’equazione del momento flettente sarà la seguente:
M((x) )=RA∙x-MA=F∙x-F∙L =F∙(x-L)
Ne deriva che il diagramma del momento flettente assume un andamento lineare, con valore massimo in A e nullo in B:
- Mmax=MA=M((x=0) )=-F∙L
- MB=M((x=L) )=0
Il momento massimo risulta negativo poiché il carico applicato tende le fibre superiori della trave.
Trave a mensola con carico uniformemente distribuito
In una trave di lunghezza L incastrata nell’estremità A e soggetta a un carico uniformemente distribuito q, le reazioni vincolari all’incastro sono pari a:
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