I solidi platonici sono un gruppo di figure tridimensionali che sono state studiate fin dall’antichità, soprattutto dal filosofo matematico greco Platone, da cui prendono il nome. Questi solidi sono molto interessanti perché possiedono delle caratteristiche geometriche uniche che li rendono perfetti e simmetrici.
Cosa sono i Solidi Platonici?
I solidi platonici sono solidi regolari, ognuno dei quali ha facce e angoli congruenti. La loro particolarità sta nel fatto che sono gli unici solidi di cui tutte le facce sono poligoni regolari. Occorre essere precisi: i cinque solidi platonici, infatti, presentano alcune caratteristiche che nessun altro possiede.
La prima è che sono formati solo da poligoni regolari, nello specifico da triangoli equilateri, quadrati o pentagoni. Solo il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono regolare possono essere facce di poliedri regolari. Ad avere angoli maggiori o uguali a 120° sono i poligoni con sei o più lati, pertanto possono formare solidi platonici solo il triangolo, il quadrato ed il pentagono. Facce pentagonali: ogni angolo di un pentagono regolare misura 108°.
I solidi platonici, inoltre, sono gli unici poliedri convessi che possono essere iscritti in una sfera, cioè hanno tutti i vertici giacenti sulla superficie della sfera stessa. L'elevata regolarità di solidi platonici si rispecchia nel fatto che ciascuno di essi ha associato un esteso gruppo di simmetria. Questi gruppi si possono considerare sottogruppi dei gruppi di simmetria dei vertici o dei gruppi di simmetria degli spigoli o dei gruppi di simmetria delle facce.
Proprio Platone trovò che esistono solo 5 solidi con queste caratteristiche:
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| Nome del Solido | Forma delle Facce | Numero di Facce | Numero di Spigoli | Numero di Vertici |
|---|---|---|---|---|
| TETRAEDRO | triangoli equilateri | 4 | 6 | 4 |
| ESAEDRO (CUBO) | quadrati | 6 | 12 | 8 |
| OTTAEDRO | triangoli equilateri | 8 | 12 | 6 |
| DODECAEDRO | pentagoni regolari | 12 | 30 | 20 |
| ICOSAEDRO | triangoli equilateri | 20 | 30 | 12 |
La somma del numero di facce e vertici è sempre uguale al numero di spigoli+2. Questa relazione è nota come formula di Eulero e non è valida solo per i solidi platonici… fate la prova con qualunque altro solido! È possibile dimostrare che non esistono più di cinque poliedri regolari anche a partire dalla relazione di Eulero. La sigla {p, q}, chiamata notazione di Schläfli, dà una descrizione combinatoria del poliedro.
Le Origini e il Pensiero di Platone
Il fascino di questi poliedri e la loro unicità furono apprezzati già in tempi antichi. Tuttavia, prima dell’antica Grecia, i solidi platonici erano già comparsi nel Neolitico in forma di pietre tondeggianti (dette petrosfere) ritrovate in Scozia e risalenti al 2.000 a.C. Essi furono oggetto di studio di Pitagora e Platone. Pare che Pitagora avesse già scoperto le proprietà delle ‘figure cosmiche‘ mentre Platone le ha associate agli elementi fondamentali.
Ma torniamo a Platone. Nel suo “Timeo”, Socrate e Timeo dialogano sull’origine dell’Universo e della materia. In quest’opera si trova la descrizione dei quattro elementi Fuoco, Terra, Aria e Acqua che vengono associati al tetraedro, l’ottaedro, il cubo e l’icosaedro. Il dodecaedro veniva invece associato all’immagine del cosmo intero, realizzando la cosiddetta quintessenza. Così scrive Platone nel Timeo:
"Iddio, pose Acqua e Aria in mezzo a Fuoco e Terra, e li proporzionò fra loro il più possibile; in modo che il Fuoco fosse rivolto verso l’aria, l’Aria fosse rivolta verso l’Acqua e l’Acqua fosse rivolta verso la Terra. Infine collegò la Terra al Fuoco e compose un corpo visibile e palpabile"
Ciò ci fa capire come ai tempi di Platone, la matematica non era vista come la intendiamo oggi, con numeri e formule per fare calcoli pratici. Era parte della filosofia, cioè un modo per capire la realtà e cercare la verità sulle cose. Platone pensava che i numeri e le forme geometriche non fossero solo strumenti per contare, ma idee perfette che esistevano in un mondo al di sopra di quello che possiamo toccare. Questo mondo perfetto lo chiamava mondo delle Idee o mondo delle Forme. Nel Timeo, Platone diceva che Dio (il Demiurgo) aveva creato l’universo usando la matematica, proprio come un artigiano usa il righello e il compasso per costruire qualcosa di bello e armonioso. Per lui, studiare la matematica significava avvicinarsi alla verità e alla perfezione.
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R1 - Schede di matematica: "I solidi platonici" (1981)
Dai Geometri Greci al Rinascimento
I poliedri regolari furono poi studiati dai geometri greco-alessandrini. I cinque poliedri ritornano con un approccio più matematico nel XIII libro degli “Elementi” (300 a.C.) di Euclide.
Dopo l’età classica i solidi platonici tornano in voga - ovviamente - nel Rinascimento. Piero della Francesca dedica ai cinque poliedri un intero trattato dal titolo “De quinque corporibus regularibus“. Pochi anni dopo Leonardo da Vinci disegna i solidi platonici, assieme a tanti altri poliedri, a corredo del “De divina proportione” (1509) del matematico Luca Pacioli. Nei suoi splendidi acquerelli ogni poliedro è appeso con una cordicella ad un cartiglio recante il nome latino del solido stesso (alla base del foglio, invece, è riportato il nome in greco).
Pochi anni dopo anche il tedesco Albrecht Dürer si occupa di poliedri. È celebre quello presente nell’incisione Melancolia I del 1514. Successivamente, con il suo “Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt” (1525) (Istruzioni per misurare con riga e compasso) Dürer disegna lo sviluppo di alcuni poliedri, cioè la figura piana che si ottiene separando alcuni spigoli tra le facce. Decisamente più artistiche sono le tavole di Lorenz Stoer contenute nel suo Geometria et Perspectiva (1567). Dopo la metà del secolo è il turno dell’incisore tedesco Wenzel Jamnitzer che nel suo “Perspectiva corporum regularium” (1568) analizza tutte le possibili varianti dei cinque solidi platonici, incluse le versioni stellate o troncate (cioè con i vertici tagliati). Il totale è di ben 120 poliedri: un’immaginifica collezione di forme impensabili che si colloca esattamente a metà tra scienza e arte e che vuole dimostrare l’assunto di Platone e cioè che ogni solido discende dai cinque originari. Della stessa epoca, ma di autore ignoto, sono alcuni disegni acquerellati in cui poliedri più o meno complessi sono accompagnati da uccelli o altri piccoli animali.
Keplero e la Visione Cosmica
Pochi anni dopo, le teorie di Platone verranno riprese da Keplero che nel suo “Mysterium Cosmographicum” (1597) immagina il sistema solare come un insieme concentrico di solidi platonici, le cui proporzioni determinano le distanze e le posizioni dei pianeti. La sua visione è riassunta in questa citazione:
«La Terra è la sfera che misura tutte le altre. Circoscrivi ad essa un dodecaedro: la sfera che lo comprende sarà Marte [nel senso che contiene l'orbita, che allora ancora riteneva circolare, del suo moto attorno al sole]. Circoscrivi a Marte un tetraedro: la sfera che lo comprende sarà Giove. Circoscrivi a Giove un cubo: la sfera che lo comprende sarà Saturno. Ora inscrivi alla Terra un icosaedro: la sfera inscritta ad essa sarà Venere. Inscrivi a Venere un ottaedro: la sfera inscritta ad essa sarà Mercurio.»
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Con “Harmonices Mundi” del 1619 Keplero torna ad occuparsi dei solidi platonici alla ricerca del concetto di armonia e bellezza geometrica. Nel 1900 è la volta del matematico tedesco Max Brücker, autore di “Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte” (Poligoni e poliedri: teoria e storia).
L'Arte Moderna e la Costruzione di Modelli
I solidi platonici e le loro versioni stellate saranno una delle passioni di Maurits Cornelis Escher. E proprio “Stelle” si intitola una xilografia del 1948 in cui l’artista olandese mette assieme il camaleonte, simbolo di trasformazione, il concetto platonico di eterna perfezione dei poliedri e l’evocazione del cosmo. Quello di “Stelle” non è l’unico poliedro nato da un incastro. In uno schizzo Escher è riuscito a mettere assieme ben cinque tetraedri! Con “Cristallo”, del 1947, Escher incastra un cubo e un ottaedro per creare un oggetto dalla geometria purissima da contrapporre alla massa informe della ghiaia. Di questi solidi quasi astratti l’artista diceva: “Essi simbolizzano il desiderio di armonia e di ordine dell’uomo, ma nello stesso tempo la loro perfezione desta in noi il senso della nostra impotenza.” La stessa esaltazione della perfezione dei poliedri è il tema di “Contrasto (ordine e caos)” del 1950. Il solido, un dodecaedro stellato quasi trasparente, è parzialmente inglobato in una sfera di vetro.
La creazione di modelli tridimensionali è un’attività che, in piccolo, si può fare anche a scuola. Basta disegnare su carta lo sviluppo dei solidi con le apposite linguette e incollare i vari lati. Queste tecniche di sviluppo su carta sono il punto di partenza ideale anche per la realizzazione di modelli più robusti, ad esempio in legno, utilizzando i medesimi schemi per tagliare e assemblare le facce. La precisione geometrica dei solidi platonici li rende soggetti perfetti per esplorazioni manuali e artistiche.
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